Se
llama función inversa, , de una función f
a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial,
y su imagen es el dominio de la función inicial. Es decir, si
la función g es la función inversa de f,
entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.
La función inversa no siempre
existe.Las
únicas funciones que tienen inversa son las
FUNCIONES BIYECTIVAS.
EJEMPLO 1
La función f NO TIENE INVERSA ya que NO ES INYECTIVA , por lo tanto no es BIYECTIVA,
y únicamente las FUNCIONES BIYECTIVAS tienen INVERSA.
EJEMPLO 2
La función g NO TIENE INVERSA ya que NO ES SOBREYECTIVA , por lo tanto no
es BIYECTIVA , y únicamente las FUNCIONES BIYECTIVAS tienen INVERSA.
EJEMPLO 3
La función f TIENE INVERSA ya que f es INYECTIVA y también f es
SOBREYECTIVA , por lo tanto es BIYECTIVA , y únicamente las FUNCIONES
BIYECTIVAS tienen INVERSA.
EJERCICIO ´PRÁCTICO
Hallar la
función inversa de f, y ubicarlos en un diagrama sagital
EJERCICIO PRÁCTICO
Tabular en un conjunto la función
inversa de f del ejercicio anterior , que se muestra en el siguiente diagrama
de Venn.
Este es un espacio académico de aprendizaje interactivo, donde se trabaja sobre una temática de interés común, utilizando la metodología del aprendizaje
basada en proyectos con un enfoque interdisciplinario, para estimular el trabajo cooperativo y
la investigación, así como las habilidades sociales.
Es una medida de dispersión que se emplea para indicar que tan cercanos de la media se encuentran cada elemento de la población y se representa por 𝝈𝟐 o V(x).
DEFINICIÓN
Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad pi, y media (μ), la varianza indica qué tan alejados se encuentran los valores de la media y se define como:
DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Es una medida de dispersión que se emplea para indicar que tan cercanos de la media se encuentran los elementos de la población y se representa por 𝝈.
DEFINICIÓN
La desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta es la raíz cuadrada de la varianza.
EJERCICIO👈
Se lanzan al aire, varias veces, dos dados iguales y se define la variable aleatoria discreta X = “suma de los puntos de las caras obtenidas”. El espacio muestral de este evento se detalla en la tabla.
Suma de las dos caras Probabilidad Para el cálculo de la media o esperanza Para el cálculo de la varianza y desviación típica
Las funciones trigonométricas son un grupo de funciones reales muy importantes en matemática. Estas tienen muchas aplicaciones en física, química, economía, en las distintas
ramas de la ingeniería, entre otras áreas. Por ejemplo las funciones trigonométricas son muy utilizadas en la lectura de electrocardiogramas.
Matemática y otras ciencias
La relación de la trigonometría y en particular de las funciones trigonométricas con otras
ciencias permite resolver varios problemas en áreas como las que se citan a continuación.
• En física, permite resolver problemas de mecánica clásica, óptica, vibraciones y ondas en
sólidos y fluidos, electricidad y electromagnetismos.
• En informática, sirve en la construcción de juegos computarizados, para simular procesos naturales o físicos.
• La teoría de la señal, en el procesamiento digital de imágenes, tiene como fundamento las series de Fourier que se expresan como senos y cosenos. Una de estas aplicaciones se da en la música.
CARACTERÍSTICAS
A la función coseno se denota con cos.
Examinemos ahora las características particulares que presenta la función coseno definido por f(x)= cos x, indagando la tabla de valores y representación gráfica en un período tomado desde 0 a 2π (0 a 360°).
Las características generales de la función coseno definido por f(x) = cos x son:
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS INTRODUCCION
Una sucesión es un conjunto de números, uno detrás de otro en cierto orden.
Una progresión geométrica es una sucesión o secuencia de números reales llamados términos, cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija "r", llamada razón.
Si se tiene a un primer término a1=3 y a una razón r=4 se puede construir la siguiente progresión geométrica:
3, 12, 48, 192, ...
EJEMPLO:👈
Ya que al operar el primer término a1=3 con la razón r=4 se obtiene que:
a1 = 3
a2 = 3(4) = 12
a3 = 12(4) = 48
a4 = 48(4) = 192, ...
Si conoces al primer término a1 y a la razón "r". En este caso es posible conocer a cualquier otro término de la progresión con el uso de la siguiente fórmula:
EJEMPLO:👍
Tienes la siguiente progresión, y te piden calcular el valor del término de la posición 20:
3, 6, 12, 24, 48, ...
Identifica que a1=3, la razón r =2 y como te piden conocer el valor del término 20, entonces n=20; al sustituir estos valores en la fórmula obtienes que:
a20 = 3· 220-1
a20= 3· 219
a20= 1 572 864
No olvides que n es la posición del término que deseas conocer.☝
Como te darás cuenta no importa qué termino an se quiere conocer, pues se calcula con la fórmula adecuada dependiendo la situación. Ya sea conociendo al primer término a1 o a cualquier otro ak de la progresión geométrica, junto con la razón r.
EJERCICIOS👈
1. En una progresión geométrica el primer término es 4 y la razón común es 2. Hallar el 8 término.
a1 =
r =
a8 =
n =
2. En una progresión geométrica el primer término es 10 y la razón común es 3 hallar el 5 término.
La estadística es la rama de las matemáticas dedicada a la recopilación, el análisis, la interpretación y la presentación de datos empíricos.
La Estadística no son sólo los resultados de encuestas, ni el cálculo de unos porcentajes, la
Estadística es un método científico que pretende sacar conclusiones a partir de unas observaciones hechas.
La MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL👈
es un número situado hacia el centro de la distribución de los valores de una serie de observaciones (medidas), en la que se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son:
Ø Media aritmética
Ø Mediana
Ø Moda
MEDIA ARITMÉTICA
La media de un conjunto de números, algunas ocasiones simplemente llamada el promedio, es la suma de los datos dividida entre el número total de datos.
Su fórmula es la siguiente:
𝒙𝟏,𝒙𝟐,…𝒙𝒏=𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
n = número total de datos
Ejemplo
Encuentre la media del conjunto {2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11}.
Hay 8 números en el conjunto. Súmelos, y luego divida entre 8.
𝑥̄=2+5+5+6+8+8+9+118=548
Así, la media es 𝑥̄= 6,75
LA MEDIANA👈
La mediana de un conjunto de números es el número medio en el conjunto (después que los números han sido ordenados del menor al mayor). Si hay un número par de datos, la mediana es el promedio de los dos números medios.
Ejemplo 1
La mediana del conjunto {2, 5, 8, 11, 16, 21, 30}.
Hay 7 números en el conjunto, y estos están acomodados en orden ascendente. El número medio (el cuarto en la lista) es 11. Así,
La mediana es : 11.
Ejemplo 2
La mediana del conjunto {3, 10, 36, 255, 79, 24, 5, 8}.
Primero, ordenamos los números de forma ascendente.
{3, 5, 8, 10, 24, 36, 79, 255}
Hay 8 números en el conjunto, por lo tanto, se debe sacar el promedio de los números que se encuentran en la parte media de la sucesión, 10 y 24.
=10+242=342
La mediana es : 17.
LA MODA👈
La moda de un conjunto de números es el número que aparece más a menudo.
Ejemplo 1
Encuentre la moda del conjunto {2, 3, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 12}.
El 2, 3, 7, 10 y 12 aparecen una vez cada uno.
El 5 aparece dos veces y el 9 aparece tres veces.
La Moda es: 9
Ejemplo 2
Encuentre la moda del conjunto {2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11}.
En este caso, hay dos modas
El 5 y el 8 ambos aparecen dos veces, mientras que los otros números solo aparecen una vez.
La Moda es: 5, 8 (bimodal)
EJERCICIO EN CLASES👈
Las notas de un estudiante a lo largo del quimestre fueron las siguientes:
